期权交易希腊变量的深入指南

希腊人

希腊人-德尔塔，伽马，θ，维加和rho是五个有助于确定期权头寸风险的变量。

投资者在期权中面临的风险不是一维的。为了应对不断变化的市场状况，投资者应意识到这些变化的严重性。为了了解变化是大还是小，无论它们是造成主要风险还是次要风险，期权理论和期权定价模型为投资者提供了识别其期权头寸风险特征的变量。这些变量称为希腊语。我们监视五个希腊人：delta，gamma，theta，vega和rho。

由于希腊人是Black&Scholes公式的派生词，因此我们将在此之前进行更多解释。

布莱克与斯科尔斯

布莱克和斯科尔斯公式（有时也称为布莱克，斯科尔斯和默顿公式）是定价选项的市场标准工具。该公式根据当前股票价格S ₀，期权T的到期时间，其行使价X，波动率σ和利率r来对期权进行定价：

call = S ⁰ N（d ₁）^{-Xe -rT} N（d ₂）

put = Xe ^-rT N（-d ₂）-S ₀ N（-d ₁）with

其中N（x）是标准正态分布的累积正态分布函数，即随机变量〜N（0,1）（具有标准正态分布）小于x的概率。

在讨论公式之前，让我们陈述一下基本假设。布莱克和斯科尔斯公式假定：

返回值是具有正态分布的IID（独立且均等分布）。
未来的波动性是已知且恒定的。
未来利率是已知的，恒定的，并且对于借贷也相同。
库存路径是连续的，并且可以进行连续交易。
交易费用为空。

为了发展该理论，我们假设所有这些假设均成立。此公式是市场标准，因为它在违反其假设方面非常强大。

三角洲

将要讨论的第一个希腊语是三角洲。基本上，增量是期权理论价值对标的合约价格变化的敏感性。更直接的是，增量是当基础价值上涨1美元时期权价值的变化。例如：

Δ_呼叫=∂C/∂S= N（d ₁）和Δ_放=∂p/∂S= N（d ₁） - 1，

与N（d ₁）为BS式英寸

当股票价格上涨时，看涨期权的价值增加，因此看涨期权的收益率为正。相反，当股票价格上涨时，认沽期权的价值下降，因此认沽期权的差额为负。

可以注意到N（x）是一个概率密度函数，因此它取的值为。这样一来，一次买入的差价就总是进场，而一次买入的差价则总是进场。因为标的水平通常是100只股票，所以期权的差额将乘以100。例如，将差额为0.25的期权视为差额25。差额越大，期权价值的变化越相似。对标的股票。 Delta为100的期权的价值将以与基础股票完全相同的速率移动。还要注意，微分运算是线性的，因此我们可以计算每个期权的德尔塔并求和以得出整个投资组合的德尔塔（然后它当然可以在外面）。

当期权接近到期日时，其到期日将改变，因为到期或退出货币的概率会发生变化，并且正态分布会变窄并且以均值为中心。随着期权接近到期日，价内期权将朝着delta 100移动，而价外期权将朝着delta 0移动。另一方面，平价期权将保持在delta附近。 50

随着基础股票价格的变化，增量也随之变化。可以预期，因为d ₁是股票价格的函数。

通话增量

对增量的一种实际解释是套期比率：为抵消期权的定向风险而应购买或出售的股票数量。从BS公式中，我们可以看到另一种解释。粗略地说，我们可以说期权的差额是其在货币中到期的概率。（看跌期权，我们将采取绝对价值）。但是，此近似值仅适用于欧洲期权。

总结一下，对增量有三种解释：

如果基础价格上涨1美元，则期权的价值变动。
套期比率：为了抵消头寸的定向风险而要购买或出售的股票数量。
期权到期时将有价证券的机会

→OTM调用：随着接近到期，增量趋向于0。

→ITM呼叫：随着时间的流逝，增量趋向于100。

看跌期权相对标的价格的差额

增量与波动

随着波动率的增加（减少），看涨期权的差价趋向（远离）0.50，而看跌期权的差价趋向（远离）-0.50。因此，如果波动率上升（减小），则货币期权的delta减少（增大）。如果选择了缺钱选项，情况恰恰相反。

增量与时间

随着时间的流逝，看涨期权的差价偏离0.50，看跌期权的差价偏离-0.50。随着时间的流逝，入金交易中的差额向1移动，出金交易中的差额向0移动。

伽玛

伽马值是股票价格的德尔塔导数。由于增量是期权价值随基础股票的函数的导数，因此伽玛是当股价上涨1美元时的增量变化。内容如下：

Γ=δ ₂ C /δS ² = N'（d ₁）/ S ₀ σ√T

d ₁如BS公式中所示，N'是高斯累积密度函数的一阶导数，即通常的高斯密度：

伽玛与股票价格，伽玛与时间

人们经常说，当ATM选件出现时，伽马达到最大值。作为第一近似值，这是正确的，但是，当股票价格刚好低于行使价时，就达到了实际的最大值。上图的左侧显示了以100美元交易的股票的效果。给定行使价X，波动率σ，比率r和到期时间T，给出最大伽玛的股票价值为S _maxΓ = Xe- ^{（r +3σ^ 2/2）T}。

看涨期权和看跌期权的伽玛曲线相同。这与我们之前所说的看涨期权和看跌期权以及目前为止的伽马值一致。

随着到期时间的减少，平价期权的γ和θ增加。在即将到期之前，这些变量可能会变得非常大。

伽玛与时间

如上图所示，图形变窄，但图形下方的总表面保持不变。结果，该图的顶部更高。较高的顶部表示随着到期时间的减少，γ和theta的增加。

由于ITM，ATM和OTM呼叫的行为，我们看到随着到期日的临近，三角曲线将在行使价附近变陡。因此，随着时间的流逝，ATM选项的伽玛值将增加。但是，这对于OTM和ITM选项不是正确的。

伽玛系数是重要的风险参数，因为它决定了随着股价变化，我们在中性资产中获得多少收益或损失。在下面的示例中，由于底层证券的移动，我们将评估期权头寸的盈亏。我们将假设伽玛常数为2.7，因此基础货币每变动1美元，增量变化2.7。

假设我们以5.5美元的价格在5.52买入80次看涨期权，价格为79美元。为了保持三角洲中立，我们应该出售51,100股。股票价格发展如下：



t =	股票价格
0	79
1个	84
2	76
3	79

在t = 1和t = 2时，我重新调整了对冲，以保持三角洲中性。在t = 3时，我平仓。

计算头寸价值变动的三种方法

这是三种计算头寸价值变化的方法，第一种使用现金流量，第二种使用增量，第三种使用伽玛。

1.使用现金流量计算利润

我们首先查看现金流量，如下表所示。第二列显示与该通知有关的现金流量，第三列与我的库存状况有关。最后一行总结了所有内容：

因此最终我们获利132,300。如果我们是多头期权，因此具有较长的伽玛头寸，则当股价下跌时我们需要购买股票，而当股价上涨时（低价买入，高价卖出）则需要卖出股票，因此如果股票移动，我们总是会获利。检查自己，此设置对看涨期权和看跌期权均有效。

2.使用增量计算利润

现在我们考虑第二种计算利润的方法。交易相同，只是利润计算有所不同。通过这种方法，我们可以同时考虑期权和股票头寸。我们将股票作为期权的对冲，因此，仅考虑总增量头寸即可。我们开始对三角洲保持中立。然后库存移动，我们获得增量。（我们使用给定的起始和结束股票值，使用两个给定的增量之间的差来计算获得的增量。为了获得移动过程中的平均增量，我们将该值除以2）。投资组合会根据其增量来获得价值增值，如下所述。

在这种情况下，我们使用平均增量法。也就是说，我们：

计算库存移动期间的平均增量位置。
将此乘以时间间隔即可计算出利润。

在时间t，我们进行套期保值，因此我们买卖股票，因此差价再次为中性。

让我们更仔细地看一下：

在t = 0时，股票交易量为79，我们开始建立中立三角洲头寸，也就是说，我们有51,100个空头股票
在t = 1时，股票交易84。期权头寸的Delta是64.6 * 1000（来自期权）-51100（来自股票）。在t = 0和t = 1之间，我的增量位置从0升至13,500。那时我的平均移动增量为（13,500 + 0）/ 2 = 6750（每次通话6.75）。为了计算我的头寸的PnL，我将这些差额乘以股票移动量：6570 * 5 = 33,750美元。为了实现这一利润，我需要卖出股票以再次保持三角洲中立。
在t = 2时，股票交易为76。我的期权头寸的三角洲是43.0 * 1000，而我的股票头寸的三角洲是-64600…

使用Gamma计算利润的示例。

3.使用伽玛计算利润

在上面的示例中，我们通过获取起始增量位置和最终增量位置的平均值来计算平均增量位置。这也可以使用伽玛来实现，因为伽玛定义了每美元差额的变化。

让我们澄清一下：

在t = 0时，股票交易价格为79，三角洲中性，伽玛为2,700。
在t = 1时，股票交易为84。股票移动了5，所以我的新差价合约头寸为5 * 2,700。在开始移动时，我的增量为0，所以我的平均增量为5 * 2,700 / 2。股票移动了5，因此投资组合获得了5 *平均增量= 5 * 5 * 2,700 / 2。对投资组合进行套期保值，以使增量再次为0。我们称其为“缩放伽马”。长时间的伽玛头寸使您可以买入低价和卖出高价。
在t = 2时，股票交易量为76。这是8美元的波动，我的新差价合约为8 * 2700…

如果我们从中立的三角洲投资组合开始，可以使用以下通用公式：

P / L = pricemove ^ 2 * gamma / 2